夏休みの自由研究にフラクタル：テーマ例と進め方

テーマ例

フラクタルは、紙と鉛筆でも、パソコンでも調べられるので、自由研究に向いています。学年や興味に合わせて選んでください。

小学生向け

- 身近なフラクタルを探そう: シダの葉、ブロッコリーやロマネスコ、木の枝、川の地図などを観察し、写真やスケッチで「部分が全体と似ている」ところを記録する。
- シェルピンスキーの三角形を手で描こう: 大きな三角形の各辺の真ん中を結んで、真ん中の三角形を塗らずに残す。これを 4〜5 回繰り返し、残った三角形の数（1, 3, 9, 27, …）と、塗った面積の割合を表にまとめる。

中学生向け

- サイコロでカオスゲーム: カオスゲームの手順で、サイコロを使って点を 100〜200 個打ち、ギャスケットが現れるかを確かめる。点の数を増やすと形がどう変わるかを、シミュレーターの結果と比べる。
- 初期図形を変えても同じ形になる？: ステップ表示で初期図形を三角形・正方形・顔に変え、Step 0〜6 の画像を並べて比べる。
- 海岸線の長さを測ろう: 地図の海岸線を、コンパスの幅を 2 cm、1 cm、5 mm と変えながらたどって長さを測る。幅を小さくすると長さがどう変わるかをグラフにする。

高校生向け

- 方眼紙でフラクタル次元を測ろう: 葉の輪郭、雲や海岸線の写真に方眼を重ね、線がかかるマスの数を、マスの大きさを変えながら数える。両対数グラフの傾きから次元を求める（→ ボックスカウント法）。
- 係数を変えて自分のシダを作ろう: バーンズリーのシダの係数を 1 つずつ変え、形がどう変わるかを記録する。回転の成分（ $b, c$ ）を変えると、シダ全体の曲がり方が変わる。
- 確率を変えると何が変わる？: カオスゲームで写像を選ぶ確率 $p$ を変えても、形は変わらず点の濃さだけが変わることを、画像を並べて確かめる。

研究の進め方

疑問を 1 つに絞る: 「フラクタルについて調べる」では広すぎます。「方眼の大きさを変えると、数えたマスの数はどう変わるか」のように、答えが数字や画像で出る問いにします。
予想を書く: 実験の前に、結果の予想と、そう考えた理由を書いておきます。予想と違った結果こそ、考察のよい材料になります。
条件をそろえて調べる: 変える条件は 1 つだけにします。シミュレーターを使う場合は、「この図形の URL をコピー」で条件を記録しておくと、あとで同じ図形を再現できます。
記録を残す: 測った数値は表にし、画像はシミュレーターの「高解像度 PNG 保存」で保存します。手で数える場合は、同じ測定を 2〜3 回繰り返して平均をとると信頼性が上がります。
グラフにする: ボックスカウント法では、横軸に $lo g (1/ マスの大きさ)$ 、縦軸に $lo g (マスの数)$ をとります。対数は関数電卓や表計算ソフトの LOG 関数で計算できます。

まとめ方・発表のコツ

最初に結論を書く: 模造紙やレポートの上部に「わかったこと」を一文で書くと、読む人に伝わりやすくなります。
図を大きく: ステップごとの変化は、Step 0〜5 の画像を横に並べると一目でわかります。フラクタル図鑑の各ページにも、ステップ 0〜5 の図があります。
動画も使える: 発表でパソコンやタブレットを使えるなら、シミュレーターの「動画・GIF で保存」で、図形ができていく様子を動画にできます。
数字には単位と条件を: 「次元は 1.58」だけでなく、「マスの大きさを 16〜512 分割に変えて数えたときの傾き」のように、どう求めたかを書きます。
うまくいかなかったことも書く: 数え間違いやすかった点、理論値とずれた理由の考察は、研究の大切な部分です。

注意点

引用元を書く: 本やウェブサイトの説明・図を使った場合は、書名やページ名、URL を記録して参考文献に載せます。
画像の利用: このサイトで作った画像や動画は、自由研究や発表に自由に使えます。使ったときは「IFS Fractal Studio（https://fractal.33msec.com/）で作成」のように書き添えてください。
自然のものは無限には続かない: シダやブロッコリーの自己相似は、ある程度の細かさで終わります。「数学のフラクタル」と「自然のフラクタルに近い形」の違いに触れると、考察が深まります。
屋外観察は安全に: 川や海岸、山で観察するときは、大人と一緒に行きましょう。

数学的な解説

ハッチソン作用素と反復関数系（IFS）

有限個の縮小写像の組 ${f_{1}, f_{2}, \dots, f_{N}}$ （縮小率 $s_{i} < 1$ ）を反復関数系（IFS）と呼びます。平面のコンパクト集合 $K$ に対するハッチソン作用素 $W$ を次で定義します。

W (K) = i = 1 ⋃ N f_{i} (K)

コンパクト集合の空間にハウスドルフ距離 $d_{H}$ を入れると完備距離空間になり、 $W$ は縮小率 $s = max (s_{1}, \dots, s_{N}) < 1$ の縮小写像になります。したがってバナッハの不動点定理により、初期図形 $K_{0}$ が三角形でも正方形でも顔の絵でも、 $K_{n + 1} = W (K_{n})$ はただ一つの図形 $A = W (A)$ （アトラクター）に収束します。シミュレーターの「ステップ表示」は、この $W^{k} (K_{0})$ を $k = 0, 1, 2, \dots$ と順に描いたものです。