フラクタル次元の求め方（相似次元とボックスカウント法）

次元とは何か

線は 1 次元、面は 2 次元、立体は 3 次元です。この「次元」を、図形を縮小したときに、元の図形がいくつの縮小コピーでできているかという見方で言い直してみます。

線分を 1/2 に縮小すると、元の線分は縮小コピー 2 個（ $= 2^{1}$ ）でできています。
正方形を 1/2 に縮小すると、元の正方形は縮小コピー 4 個（ $= 2^{2}$ ）でできています。
立方体を 1/2 に縮小すると、元の立方体は縮小コピー 8 個（ $= 2^{3}$ ）でできています。

縮小率を $1/2$ ではなく $1/3$ にしても同じで、線分は $3^{1}$ 個、正方形は $3^{2}$ 個、立方体は $3^{3}$ 個になります。つまり「縮小率 $r$ のコピー $N$ 個でできている」とき、

N = (1/ r)^{D}

の指数 $D$ が次元になっています。この考え方は、整数でない $D$ にもそのまま使えます。

相似次元の求め方

シェルピンスキーのギャスケットは、1/2 に縮小したコピー 3 個でできています。上の式に当てはめると $3 = 2^{D}$ なので、

D = \frac{lo g 3}{lo g 2} \approx 1.585

となります。線（1 次元）より複雑で、面（2 次元）ほど詰まってはいない、という図形の性質が数字に表れています。このように自己相似性から求めた次元を相似次元と呼びます。

ほかの図形でも、同じように計算できます。

コッホ曲線: 1/3 のコピー 4 個 → $D = lo g 4/ lo g 3 \approx 1.262$
シェルピンスキーのカーペット: 1/3 のコピー 8 個 → $D = lo g 8/ lo g 3 \approx 1.893$
ヴィチェック・フラクタル: 1/3 のコピー 5 個 → $D = lo g 5/ lo g 3 \approx 1.465$

縮小率がばらばらの場合（モランの式）

コピーごとに縮小率 $s_{1}, s_{2}, \dots, s_{N}$ が違う場合は、次のモランの式を満たす $D$ が相似次元です。

s_{1}^{D} + s_{2}^{D} + \dots + s_{N}^{D} = 1

縮小率がすべて $r$ なら $N r^{D} = 1$ となり、上の $N = (1/ r)^{D}$ と同じ式になります。例えば縮小率 1/2 と 1/4 のコピーが 1 個ずつなら $(1/2)^{D} + (1/4)^{D} = 1$ で、 $D \approx 0.694$ です。この式は一般には手計算で解けないので、シミュレーターでは数値計算（二分法）で解いています。

モランの式が使えるのは、全ての写像が相似変換（形を変えずに縮小・回転・反転・移動するだけ）の場合です。バーンズリーのシダのように、縦と横で縮み方が違う写像を含む図形では使えません。

ボックスカウント法

相似次元が使えない図形や、自然の形（海岸線、葉の輪郭など）の次元は、ボックスカウント法で見積もります。

図形を、1 辺の長さ $ε$ のマス目（箱）で覆う。
図形が少しでもかかっている箱の数 $N (ε)$ を数える。
マス目を細かくしながら数え直し、 $lo g N (ε)$ と $lo g (1/ ε)$ のグラフを描く。
点がほぼ一直線に並ぶので、その傾きを次元の推定値とする。

線なら、マス目の 1 辺を半分にすると箱の数は約 2 倍、面なら約 4 倍になります。傾きはそれぞれ 1 と 2 で、次元と一致します。ギャスケットでは約 3 倍ずつ増え、傾きは約 1.585 になります。

シミュレーターのカオスゲーム画面では、100 万点を打って 1 辺を 16〜512 分割したマス目で箱を数え、回帰直線の傾きを「ボックスカウント次元（推定値）」として表示しています。「次元の求め方（ボックスカウントのグラフ）」を開くと、実際の両対数グラフを見られます。

点の数やマス目の細かさには限りがあるため、推定値は理論値から数 % ずれることがあります。特に、面を埋め尽くす図形（ヘイウェイ・ドラゴンなど、理論上は 2 次元）では、輪郭のギザギザの影響で 1.8〜1.9 程度と小さめに出ます。

相似次元とハウスドルフ次元の関係

数学で最も基本的なフラクタル次元はハウスドルフ次元です。定義は難しいのですが、次の関係が知られています。

全ての写像が相似変換で、コピーどうしがほとんど重ならない（開集合条件を満たす）とき、相似次元はハウスドルフ次元と一致します。ギャスケット、カーペット、コッホ曲線などはこの場合です。
コピーどうしが大きく重なっていると、相似次元は実際の次元より大きな値（上限）になります。重なった部分を二重に数えてしまうためです。
性質のよい自己相似集合では、ボックスカウント次元もハウスドルフ次元と一致します。

このサイトの図鑑では、次元を 3 つに分けて載せています。「理論値」は文献で確認できる値だけ、「相似次元」は全ての写像が相似変換の場合だけ計算した値、「ボックスカウント次元」はカオスゲームの点から推定した値です。たとえば結晶樹は相似次元が約 1.672 と計算できますが、コピーどうしが重なっているため、実際の次元はこれより小さい可能性があります。

数学的な解説

フラクタル次元（相似次元とボックスカウント次元）

全ての写像が相似変換（縮小率 $s_{i}$ ）のとき、次のモランの式をただ一つ満たす $D$ を相似次元と呼びます。

i = 1 \sum N s_{i}^{D} = 1

例えばシェルピンスキーのギャスケット（ $s_{i} = 1/2$ 、 $N = 3$ ）では $3 \cdot (1/2)^{D} = 1$ より $D = lo g 3/ lo g 2 \approx 1.585$ です。相似次元がハウスドルフ次元と一致するのは、部分像どうしがほとんど重ならない開集合条件を満たす場合です。重なりがあると、相似次元は実際の次元より大きな値（上限）になります。

相似変換でない写像（シダなど）を含む場合、モランの式は使えません。そこでボックスカウント法で次元を推定します。図形を 1 辺 $1/ ε$ 分割の格子で覆い、点を含む箱の数 $N (ε)$ を数えると、

D_{box} = ε \to 0 lim \frac{lo g N ( ε )}{lo g ( 1/ ε )}

となります。このサイトでは、カオスゲームで打った 100 万点について 1 辺 16〜512 分割の箱を数え、 $lo g N$ と $lo g (1/ ε)$ の回帰直線の傾きを推定値としています。点の数と格子の細かさが有限なので、理論値から数 % ずれることがあります（面を埋める図形では小さめに出る傾向があります）。

参考文献

P. A. P. Moran, "Additive functions of intervals and Hausdorff measure", *Proceedings of the Cambridge Philosophical Society* 42 (1946), 15–23.
J. E. Hutchinson, "Fractals and self similarity", *Indiana University Mathematics Journal* 30 (1981), 713–747.
K. Falconer, *Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications*, Wiley（初版 1990）.