フラクタルとは？自己相似の身近な例と作り方

フラクタルとは

フラクタル（fractal）とは、一部分を拡大すると、全体とよく似た形が現れる図形のことです。どこまで拡大しても細かい凸凹や枝分かれが続き、「なめらかな線」や「平らな面」にはなりません。

言葉は、数学者ブノワ・マンデルブロが、ラテン語の fractus（砕けた・不規則な）をもとに作りました。1982年の著書『The Fractal Geometry of Nature（自然のフラクタル幾何学）』で、海岸線や雲、山並みのような自然の形を扱う数学として広く紹介しています。

円や三角形のような図形は、拡大していくと輪郭がほぼ直線に見えてきます。一方、フラクタルは拡大しても複雑さが変わりません。このため、長さや面積では大きさをうまく表せず、「1.585 次元」のような整数でない次元（フラクタル次元）で複雑さを表します（→ フラクタル次元の求め方）。

自己相似とは

自己相似とは、図形の一部分が全体の縮小コピーになっている性質です。代表例のシェルピンスキーのギャスケットは、全体が「半分の大きさの自分自身」3 つでできています。その 3 つもそれぞれ、さらに半分の大きさの 3 つでできていて、これが無限に続きます。

自己相似には、程度の違いがあります。

厳密な自己相似: 部分が全体を正確に縮小したもの。ギャスケット、コッホ曲線、シェルピンスキーのカーペットなど。
ゆがんだ自己相似: 部分が全体を縮小して、少し傾けたり押しつぶしたりしたもの。バーンズリーのシダは、葉の一枚一枚がシダ全体をゆがめて縮小した形です。
統計的な自己相似: 形そのものは一致しないが、拡大しても「同じくらい複雑に見える」もの。海岸線、山の稜線、雲などがこれにあたります。

身近なフラクタルの例

自然の中には、自己相似に近い形がたくさんあります。ただし自然のものは、数学のフラクタルと違って無限には続かず、ある大きさより細かくなると構造が終わります。

シダの葉: 葉が小葉に、小葉がさらに小さな裂片に分かれ、どれも全体と似た形をしています。
ロマネスコ（カリフラワーの一種）: 円すい形のつぼみが、さらに小さな円すいのらせんでできています。
樹木の枝分かれ・血管・肺の気管支: 太い枝から細い枝へ、同じような分かれ方を何段階も繰り返します。
川の流域・稲妻: 本流から支流、支流からさらに細い流れへと枝分かれします。
海岸線: 地図の縮尺を細かくするほど入り組んだ部分が見えてきて、測った長さが伸びていきます。

このサイトのフラクタル図鑑には、シダや樹木のような自然に似た形から、ドラゴン曲線のような数学的な形まで 20 種を載せています。

フラクタルの作り方

自己相似なフラクタルは、「図形を縮小コピーして、決まった位置に並べる」操作を繰り返すと作れます。ギャスケットなら、次の操作です。

図形を半分の大きさに縮小したコピーを 3 つ作る。
1 つを左下、1 つを右下、1 つを上に置く。
できた図形に、もう一度 1〜2 を行う。これを繰り返す。

面白いのは、最初の図形が何であっても、繰り返すうちに同じギャスケットに近づくことです。三角形から始めても、正方形や顔の絵から始めても、10 回ほど繰り返せば見分けがつかなくなります。シミュレーターのステップ表示で、初期図形を「スマイル顔」にして Step を進めると、実際に確かめられます。

この「縮小して並べる」ルールの組を反復関数系（IFS）と呼び、ルールを変えるとシダやドラゴン曲線など、さまざまな形を作れます（→ 反復関数系（IFS）とアフィン変換の基礎）。また、点を 1 つだけ使い、ルールをランダムに選んで動かす「カオスゲーム」という方法でも、同じ図形を描けます。

数学的な解説

ハッチソン作用素と反復関数系（IFS）

有限個の縮小写像の組 ${f_{1}, f_{2}, \dots, f_{N}}$ （縮小率 $s_{i} < 1$ ）を反復関数系（IFS）と呼びます。平面のコンパクト集合 $K$ に対するハッチソン作用素 $W$ を次で定義します。

W (K) = i = 1 ⋃ N f_{i} (K)

コンパクト集合の空間にハウスドルフ距離 $d_{H}$ を入れると完備距離空間になり、 $W$ は縮小率 $s = max (s_{1}, \dots, s_{N}) < 1$ の縮小写像になります。したがってバナッハの不動点定理により、初期図形 $K_{0}$ が三角形でも正方形でも顔の絵でも、 $K_{n + 1} = W (K_{n})$ はただ一つの図形 $A = W (A)$ （アトラクター）に収束します。シミュレーターの「ステップ表示」は、この $W^{k} (K_{0})$ を $k = 0, 1, 2, \dots$ と順に描いたものです。

参考文献

B. B. Mandelbrot, *The Fractal Geometry of Nature*, W. H. Freeman, 1982.
M. F. Barnsley, *Fractals Everywhere*, Academic Press, 1988.
K. Falconer, *Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications*, Wiley（初版 1990）.

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