反復関数系（IFS）とアフィン変換の基礎

反復関数系とは

反復関数系（IFS: Iterated Function System）は、平面の点を動かす規則（写像） $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{N}$ の組です。各写像は図形を縮小して、どこかへ移します。

IFS から図形を作るには、次の操作を繰り返します。

K_{n + 1} = f_{1} (K_{n}) \cup f_{2} (K_{n}) \cup \dots \cup f_{N} (K_{n})

図形 $K_{n}$ を全ての写像でそれぞれ写し、できた $N$ 個の像を合わせたものが次の図形 $K_{n + 1}$ です。全ての写像が「縮める」写像なら、どんな図形から始めても、繰り返すうちにただ一つの図形 $A$ に近づきます。この $A$ を IFS のアトラクターと呼び、 $A$ 自身は $A = f_{1} (A) \cup \dots \cup f_{N} (A)$ を満たします。「全体が自分の縮小コピーの集まり」という自己相似の性質が、この式にそのまま表れています。

この枠組みは J. E. Hutchinson が 1981 年の論文で数学的に整理し、M. F. Barnsley らが図形の作成や画像圧縮に応用して広めました。

シミュレーターの「ステップ表示」は、 $K_{0}$ （初期図形）から $K_{1}, K_{2}, \dots$ を順に描いたものです。「カオスゲーム」は、同じアトラクターを点の動きで描く方法です（→ カオスゲームとは）。

アフィン変換の係数 a〜f の意味

このサイトの写像はすべてアフィン変換で、6 個の係数で決まります。

x^{'} = a x + b y + e, y^{'} = c x + d y + f

$e, f$ は平行移動です。原点 $(0, 0)$ は $(e, f)$ に移ります。 $a, b, c, d$ は形の変え方を表し、代表的な組み合わせは次のとおりです。

縮小: $a = d = r$ 、 $b = c = 0$ 。全体を $r$ 倍にします（例: $r = 0.5$ で半分）。
縦横で違う倍率: $a = r_{x}$ 、 $d = r_{y}$ 、 $b = c = 0$ 。横に $r_{x}$ 倍、縦に $r_{y}$ 倍します。
回転しながら縮小: $a = d = r cos θ$ 、 $c = r sin θ$ 、 $b = - r sin θ$ 。反時計回りに $θ$ 回転して $r$ 倍にします。
左右反転: $a$ の符号を反対にします（ $a = - r$ 、 $d = r$ ）。
線につぶす: $a = b = c = 0$ 、 $d = 0.16$ のように、1 方向の倍率を 0 にします。バーンズリーのシダの茎はこの写像で作られています。

$a = d$ かつ $b = - c$ （または $a = - d$ かつ $b = c$ ）のとき、写像は形を保ったまま縮小・回転・反転するだけの相似変換になります。全ての写像が相似変換なら、フラクタル次元を簡単な式で計算できます（→ フラクタル次元の求め方）。

$∣ a d - b c ∣$ （行列式の絶対値）は、写像で面積が何倍になるかを表します。カオスゲームで写像を選ぶ確率 $p$ の目安にも使います。

縮小写像と不動点定理

アトラクターがただ一つに決まるのは、バナッハの不動点定理のおかげです。

写像 $f$ が、どの 2 点の距離も $k$ 倍以下（ $k$ は 1 より小さい定数）に縮めるとき、 $f$ を縮小写像と呼びます。縮小写像を何度も当てはめると、どこから始めた点も、ただ一つの点（不動点）に近づいていきます。距離が 1 回ごとに $k$ 倍に縮むので、近づく速さは指数関数的です。

IFS の操作「全ての写像で写して合わせる」も、図形どうしの距離（ハウスドルフ距離）を縮める縮小写像になっています。そのため図形の世界でも不動点定理が使え、初期図形によらずアトラクターがただ一つに決まります。ステップ表示で初期図形を変えても同じ形に近づくのは、このためです。

自分で係数を作るコツ

シミュレーターのカオスゲーム画面では、係数を自由に編集できます。うまく図形を作るためのコツをまとめます。

まず相似変換で考える: $a = d$ 、 $b = - c$ の形にすると、縮小率と回転角だけを考えればよく、形が予想しやすくなります。
縮小率は 1 未満に: 縮小率が 1 以上の写像があると、点が遠くへ飛んでいき図形になりません。シミュレーターでは「縮小写像でない」と表示されます。
面積の合計を意識する: 各写像の $∣ a d - b c ∣$ の合計が 1 より大きいと、コピーどうしが重なって塗りつぶされた形になりやすく、小さすぎるとまばらな点の集まりになります。
確率は面積比で: 係数を変えたら「確率 $p$ を面積比で自動設定」を押すと、点の濃さが均一に近づきます。
プリセットを少しずつ変える: シダの 2 番目の写像の $b, c$ （回転の成分）を少し変えると、シダ全体の曲がり方が変わります。変えた図形は「この図形の URL をコピー」で共有できます。

数学的な解説

アフィン変換 $A x + b$ の係数の意味

平面のアフィン写像は、6 個の係数 $a, b, c, d, e, f$ で表せます。

(x^{'} y^{'}) = (a c b d) (x y) + (e f)

$a, b, c, d$ （線形部分）: 拡大縮小・回転・反転・せん断を表します。 $a = d, b = - c$ のときは「縮小して回転するだけ」の相似変換です（ $a = - d, b = c$ なら反転を含む相似変換）。
$e, f$ （平行移動）: 縮小した部分像をどこに置くかを表します。
行列式 $∣ det A ∣ = ∣ a d - b c ∣$ : 写像で面積が何倍になるかを表します。カオスゲームの確率 $p_{i}$ をこれに比例させると、点の濃さが均一になりやすくなります。 $det A = 0$ の写像（シダの茎など）は図形を線につぶすため、確率に最小値を設けます。

縮小写像とバナッハの不動点定理

完備距離空間 $(X, d)$ 上の写像 $f : X \to X$ が、ある定数 $k \in [0, 1)$ に対して次を満たすとき、 $f$ を縮小写像と呼びます。

d (f (x), f (y)) \leq k \cdot d (x, y) (\forall x, y \in X)

バナッハの不動点定理によると、完備距離空間上の縮小写像 $f$ はただ一つの不動点 $x^{*}$ （ $f (x^{*}) = x^{*}$ ）を持ち、任意の初期点 $x_{0}$ から作った点列 $x_{n + 1} = f (x_{n})$ は $n \to \infty$ で $x^{*}$ に収束します。距離は 1 回ごとに $k$ 倍以下になるので、収束は指数関数的に速く進みます。

参考文献

J. E. Hutchinson, "Fractals and self similarity", *Indiana University Mathematics Journal* 30 (1981), 713–747.
M. F. Barnsley, S. Demko, "Iterated function systems and the global construction of fractals", *Proceedings of the Royal Society of London A* 399 (1985), 243–275.
M. F. Barnsley, *Fractals Everywhere*, Academic Press, 1988.