どんな図形から始めても、同じルールで縮小・配置を繰り返すと、決まった形（フラクタル）にたどり着きます。三角形や顔の絵がステップごとにシダやドラゴン曲線へ変わっていく様子を、ブラウザで確かめてみましょう。
数学的には、反復関数系（IFS: Iterated Function System）は縮小するアフィン写像の組 で定義されます。バナッハの不動点定理により、どのような初期図形から始めても写像の適用を繰り返すと、ただ一つの自己相似集合（アトラクター）に収束します。このツールでは「ステップ表示」と「カオスゲーム法（ランダム反復）」の両面から、縮小写像の仕組みを比べられます。
※「アトラクター包含枠」を選ぶと、完成図をちょうど囲む枠が各写像によって削られていく様子がよく分かります。
相似次元は、開集合条件を満たす場合、ハウスドルフ次元と一致します。シェルピンスキーのギャスケットの解説 →
動画はブラウザの中で作成します。画像や設定がサーバーへ送信されることはありません。
| 式 | (確率) | 操作 |
|---|
カオスゲームで打った100万点を、1 辺を 16〜512 分割した格子で覆い、点を含む箱の数を数えています。両対数グラフの傾きがボックスカウント次元の推定値です。相似次元は全ての写像が相似変換のときだけ計算でき、開集合条件を満たす場合にハウスドルフ次元と一致します。
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反復関数系（IFS）によるフラクタルは、縮小写像、バナッハの不動点定理、カオスゲーム法のエルゴード性という3つの考え方で説明できます。詳しくは各解説記事をご覧ください。
全写像が相似変換なら、モランの式 Σ sᵢᴰ = 1 から相似次元が求まります。一般の場合は、箱の数を数えるボックスカウント法で推定します。