シェルピンスキーのギャスケット（Sierpinski Gasket）

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分類: 自己相似図形
写像の数: 3 個（相似変換 3 個）
次元 1.585

ステップ 0〜5 の変化

完成図をちょうど囲む長方形（Step 0）に、3 個の写像をまとめて当てはめる操作（ハッチソン作用素 $W$ ）を繰り返した図です。色は最初に当てはめた写像を表します。

概要

三角形の真ん中をくり抜く操作を無限に繰り返してできる図形です。ポーランドの数学者ヴァツワフ・シェルピンスキーが 1915 年に発表したことから、この名前で呼ばれます。「シェルピンスキーの三角形」とも呼ばれます。

全体が「半分の大きさの自分自身」3 つでできている、最も基本的な自己相似図形です。くり抜きを $n$ 回行うと残る面積は元の $(3/4)^{n}$ になり、最終的な面積は 0 になりますが、図形は線よりも複雑です。そのため次元は 1 と 2 の間の $lo g 3/ lo g 2 \approx 1.585$ になります。

パスカルの三角形の数を奇数と偶数で塗り分けると、この形が現れることでも知られています。

アフィン変換の係数

各写像は $x^{'} = a x + b y + e, y^{'} = c x + d y + f$ で、 $p$ はカオスゲームで選ぶ確率です。

写像	a	d	e	f	p	種類
f₁	0.5	0.5	0	0	0.3333	相似（0.5 倍）
f₂	0.5	0.5	0.5	0	0.3333	相似（0.5 倍）
f₃	0.5	0.5	0.25	0.5	0.3333	相似（0.5 倍）

次元

理論値	$lo g 3/ lo g 2 \approx 1.585$
相似次元	1.585（全ての写像が相似変換のため、モランの式 $\sum s_{i}^{D} = 1$ から計算）
ボックスカウント次元（推定値）	1.585（100万点・1 辺 16〜512 分割、決定係数 R² = 1.0000）

相似次元は、開集合条件を満たす場合にハウスドルフ次元と一致します。

ボックスカウントの結果（両対数グラフの元データ）
1 辺の分割数	点を含む箱の数
16	114
32	341
64	1,022
128	3,064
256	9,224
512	27,619

次元の求め方は「フラクタル次元の求め方」で解説しています。

作り方

写像 $f_{1}$ は図形を 0.5 倍に縮小して平行移動 (0, 0) します（相似変換）。
写像 $f_{2}$ は図形を 0.5 倍に縮小して平行移動 (0.5, 0) します（相似変換）。
写像 $f_{3}$ は図形を 0.5 倍に縮小して平行移動 (0.25, 0.5) します（相似変換）。

3 つの写像はどれも「半分に縮小する」だけで、置く場所だけが違います（左下・右下・上）。1 回当てはめるごとに三角形の数は 3 倍、1 辺は半分になるので、中央に逆向きの三角形の穴が空いていきます。

カオスゲームでは「3 つの頂点のどれかを選び、今の点との真ん中に移る」操作と同じです（→ カオスゲームとは）。

出典・参考文献

W. Sierpiński, "Sur une courbe dont tout point est un point de ramification", *Comptes Rendus de l'Académie des Sciences* 160 (1915), 302–305.
H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe, *Chaos and Fractals: New Frontiers of Science*, Springer, 1992.

シェルピンスキーのギャスケット（Sierpinski Gasket）

ステップ 0〜5 の変化

概要

アフィン変換の係数

次元

作り方

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出典・参考文献