バーンズリーのシダ（Barnsley Fern）

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分類: 植物・樹木
写像の数: 4 個（相似変換 1 個）
次元 ≈ 1.816（推定）

ステップ 0〜5 の変化

完成図をちょうど囲む長方形（Step 0）に、4 個の写像をまとめて当てはめる操作（ハッチソン作用素 $W$ ）を繰り返した図です。色は最初に当てはめた写像を表します。

概要

わずか 4 つのアフィン変換で、本物そっくりのシダの葉を描ける図形です。数学者マイケル・バーンズリーが著書『Fractals Everywhere』（1988年）で紹介しました。チャセンシダの仲間（Asplenium adiantum-nigrum）を手本にしたものとされています。

葉全体の形、左右に出る小葉、小葉からさらに出る裂片が、どれも全体をゆがめて縮小した形になっています。ギャスケットのような「そのままの縮小コピー」ではなく、縦横の倍率や傾きが違う写像を含むため、相似次元（モランの式）は使えません。このサイトでは、カオスゲームの点からボックスカウント法で次元を推定しています。

「複雑に見える自然の形も、少数の規則の繰り返しで表せる」ことを示す例として、フラクタルや画像圧縮の説明でよく使われます。

アフィン変換の係数

各写像は $x^{'} = a x + b y + e, y^{'} = c x + d y + f$ で、 $p$ はカオスゲームで選ぶ確率です。

写像	a	b	c	d	f	p	種類
f₁	0	0	0	0.16	0	0.01	線につぶす
f₂	0.85	0.04	-0.04	0.85	1.6	0.85	相似（0.851 倍）
f₃	0.2	-0.26	0.23	0.22	1.6	0.07	アフィン
f₄	-0.15	0.28	0.26	0.24	0.44	0.07	アフィン

次元

理論値	—（文献で確認できる値がないため記載していません）
相似次元	—（相似変換でない写像を含むため算出対象外）
ボックスカウント次元（推定値）	1.816（100万点・1 辺 16〜512 分割、決定係数 R² = 1.0000）

相似次元は、開集合条件を満たす場合にハウスドルフ次元と一致します。

ボックスカウントの結果（両対数グラフの元データ）
1 辺の分割数	点を含む箱の数
16	93
32	313
64	1,108
128	3,966
256	14,100
512	49,268

次元の求め方は「フラクタル次元の求め方」で解説しています。

作り方

写像 $f_{1}$ は図形を幅のない線（または点）につぶします（ $det A = 0$ ）。(0, 0) を通る線分になり、茎や幹を描きます。
写像 $f_{2}$ は図形を 0.851 倍に縮小して-2.7° 回転し、平行移動 (0, 1.6) します（相似変換）。
写像 $f_{3}$ は向きによって 0.305〜0.341 倍に縮め、傾きを変えながら平行移動 (0, 1.6) します（面積は 0.104 倍）。
写像 $f_{4}$ は向きによって 0.287〜0.379 倍に縮め、反転を含めて傾きを変えながら平行移動 (0, 0.44) します（面積は 0.109 倍）。

4 つの写像の役割を、シダの部位に対応させると次のようになります。

$f_{1}$ （茎）: 横方向の倍率が 0 の写像で、図形を縦の線分につぶします。これが葉の中心を通る茎になります。
$f_{2}$ （葉の上の部分）: 全体を 0.85 倍に縮めて少し傾け、上へずらします。シダの「下の小葉 1 対を除いた残り全体」が、シダ全体の縮小コピーになっていることを表しています。
$f_{3}$ ・ $f_{4}$ （左右の小葉）: 全体を縮小・回転して、茎の根元から左右に出る一番下の小葉を作ります。 $f_{4}$ は反転を含み、左右で向きが逆になります。