カントール・ダスト（Cantor Dust）

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分類: 自己相似図形
写像の数: 4 個（相似変換 4 個）
次元 1.262

ステップ 0〜5 の変化

完成図をちょうど囲む長方形（Step 0）に、4 個の写像をまとめて当てはめる操作（ハッチソン作用素 $W$ ）を繰り返した図です。色は最初に当てはめた写像を表します。

概要

線分を 3 等分して真ん中を取り除く操作を繰り返すと、「カントール集合」と呼ばれる点の集まりができます。ドイツの数学者ゲオルク・カントールが 1883 年の論文で扱ったことで知られる集合です。カントール・ダストは、これを平面に広げたもので、横方向と縦方向の両方でカントール集合になっている点の集まりです。

正方形を 3×3 に分けて四隅の 4 マスだけを残す操作を繰り返すと得られます。どの点もほかの点とつながっていない「ちり（dust）」のような図形で、次元は $lo g 4/ lo g 3 \approx 1.262$ です。これは、1 次元のカントール集合の次元 $lo g 2/ lo g 3 \approx 0.631$ のちょうど 2 倍です。

アフィン変換の係数

各写像は $x^{'} = a x + b y + e, y^{'} = c x + d y + f$ で、 $p$ はカオスゲームで選ぶ確率です。

写像	a	d	e	f	p	種類
f₁	0.3333	0.3333	0	0	0.25	相似（0.333 倍）
f₂	0.3333	0.3333	0.6667	0	0.25	相似（0.333 倍）
f₃	0.3333	0.3333	0	0.6667	0.25	相似（0.333 倍）
f₄	0.3333	0.3333	0.6667	0.6667	0.25	相似（0.333 倍）

次元

理論値	$lo g 4/ lo g 3 \approx 1.262$
相似次元	1.262（全ての写像が相似変換のため、モランの式 $\sum s_{i}^{D} = 1$ から計算）
ボックスカウント次元（推定値）	1.356（100万点・1 辺 16〜512 分割、決定係数 R² = 0.9975）

相似次元は、開集合条件を満たす場合にハウスドルフ次元と一致します。

ボックスカウントの結果（両対数グラフの元データ）
1 辺の分割数	点を含む箱の数
16	100
32	256
64	784
128	1,764
256	4,895
512	10,399

次元の求め方は「フラクタル次元の求め方」で解説しています。

作り方

写像 $f_{1}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0, 0) します（相似変換）。
写像 $f_{2}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0.667, 0) します（相似変換）。
写像 $f_{3}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0, 0.667) します（相似変換）。
写像 $f_{4}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0.667, 0.667) します（相似変換）。

4 つの写像はどれも「1/3 に縮小する」だけで、正方形の四隅に置きます。1 回ごとに正方形の数は 4 倍、1 辺は 1/3 になり、正方形の群れが四隅へ分かれていきます。

出典・参考文献

G. Cantor, "Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten" (5), *Mathematische Annalen* 21 (1883), 545–591.
K. Falconer, *Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications*, Wiley（初版 1990）.

カントール・ダスト（Cantor Dust）

ステップ 0〜5 の変化

概要

アフィン変換の係数

次元

作り方

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出典・参考文献