ヴィチェック・フラクタル（Vicsek Fractal）

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• 分類: 自己相似図形
• 写像の数: 5 個（相似変換 5 個）
• 次元 1.465

ステップ 0〜5 の変化

完成図をちょうど囲む長方形（Step 0）に、5 個の写像をまとめて当てはめる操作（ハッチソン作用素 $W$）を繰り返した図です。色は最初に当てはめた写像を表します。

概要

正方形を 3×3 に分け、中央と上下左右の 5 マスだけを残す操作を繰り返してできる、十字形のフラクタルです。ハンガリーの物理学者ヴィチェック・タマーシュ（Tamás Vicsek）の名にちなんで呼ばれます。

1/3 のコピー 5 個でできているので、次元は $\log 5/\log 3\approx 1.465$ です。どの段階でも中央の十字がつながっていて、枝分かれした樹のような構造になっています。

このサイトの旧版では「ギリシャ十字フラクタル」と呼んでいましたが、写像の定義がヴィチェック・フラクタルと同じであるため、名前を改めました。

アフィン変換の係数

各写像は $x^{\prime }=ax+by+e,y^{\prime }=cx+dy+f$ で、$p$ はカオスゲームで選ぶ確率です。

次元

相似次元は、開集合条件を満たす場合にハウスドルフ次元と一致します。

次元の求め方は「フラクタル次元の求め方」で解説しています。

作り方

• 写像 $f_1$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0.333, 0.333) します（相似変換）。
• 写像 $f_2$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0.333, 0) します（相似変換）。
• 写像 $f_3$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0.333, 0.667) します（相似変換）。
• 写像 $f_4$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0, 0.333) します（相似変換）。
• 写像 $f_5$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0.667, 0.333) します（相似変換）。

5 つの写像はどれも「1/3 に縮小する」だけで、3×3 のマスの中央と、その上下左右に置きます。四隅を取り除くことで、十字の中にさらに小さな十字が並ぶ形になります。

関連する図形

• シェルピンスキーのギャスケット
• シェルピンスキーのカーペット
• ペンタフレーク
• 六角クリスタル
• カントール・ダスト

出典・参考文献

• T. Vicsek, "Fractal models for diffusion controlled aggregation", *Journal of Physics A: Mathematical and General* 16 (1983), L647–L652.