IFS Fractal Studio

六角クリスタル（Hexaflake）

六角クリスタルの完成図（カオスゲーム法で描画）

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分類: 自己相似図形
写像の数: 7 個（相似変換 7 個）
次元 1.771

ステップ 0〜5 の変化

完成図をちょうど囲む長方形（Step 0）に、7 個の写像をまとめて当てはめる操作（ハッチソン作用素 $W$ ）を繰り返した図です。色は最初に当てはめた写像を表します。

六角クリスタルの Step 0 — Step 0（1 個）

六角クリスタルの Step 1 — Step 1（7 個）

六角クリスタルの Step 2 — Step 2（49 個）

六角クリスタルの Step 3 — Step 3（343 個）

六角クリスタルの Step 4 — Step 4（2,401 個）

六角クリスタルの Step 5 — Step 5（16,807 個）

概要

正六角形を、中央に 1 つ、その周りに 6 つの 1/3 の大きさの正六角形で置き換える操作を繰り返してできる図形で、英語ではヘキサフレーク（Hexaflake）と呼ばれます。6 回対称の、雪の結晶に似た形になります。

1/3 のコピー 7 個でできているので、次元は $lo g 7/ lo g 3 \approx 1.771$ です。

アフィン変換の係数

各写像は $x^{'} = a x + b y + e, y^{'} = c x + d y + f$ で、 $p$ はカオスゲームで選ぶ確率です。

写像	a	b	c	d	e	f	p	種類
f₁	0.3333	0	0	0.3333	0	0	0.1429	相似（0.333 倍）
f₂	0.3333	0	0	0.3333	0.6667	0	0.1429	相似（0.333 倍）
f₃	0.3333	0	0	0.3333	0.3333	0.5774	0.1429	相似（0.333 倍）
f₄	0.3333	0	0	0.3333	-0.3333	0.5774	0.1429	相似（0.333 倍）
f₅	0.3333	0	0	0.3333	-0.6667	0	0.1429	相似（0.333 倍）
f₆	0.3333	0	0	0.3333	-0.3333	-0.5774	0.1429	相似（0.333 倍）
f₇	0.3333	0	0	0.3333	0.3333	-0.5774	0.1429	相似（0.333 倍）

次元

理論値	$lo g 7/ lo g 3 \approx 1.771$
相似次元	1.771（全ての写像が相似変換のため、モランの式 $\sum s_{i}^{D} = 1$ から計算）
ボックスカウント次元（推定値）	1.758（100万点・1 辺 16〜512 分割、決定係数 R² = 1.0000）

相似次元は、開集合条件を満たす場合にハウスドルフ次元と一致します。

ボックスカウントの結果（両対数グラフの元データ）
1 辺の分割数	点を含む箱の数
16	178
32	605
64	2,071
128	6,976
256	23,737
512	78,183

次元の求め方は「フラクタル次元の求め方」で解説しています。

作り方

写像 $f_{1}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0, 0) します（相似変換）。
写像 $f_{2}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0.667, 0) します（相似変換）。
写像 $f_{3}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0.333, 0.577) します（相似変換）。
写像 $f_{4}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (-0.333, 0.577) します（相似変換）。
写像 $f_{5}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (-0.667, 0) します（相似変換）。
写像 $f_{6}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (-0.333, -0.577) します（相似変換）。
写像 $f_{7}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0.333, -0.577) します（相似変換）。

7 つの写像はどれも「1/3 に縮小する」だけで、1 つを中央に、6 つを中心から 2/3 の距離に 60° おきに置きます。繰り返すと、六角形の周りに六角形が並ぶ構造が、あらゆる大きさで現れます。

関連する図形

出典・参考文献

K. Falconer, *Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications*, Wiley（初版 1990）.