IFS Fractal Studio

ペンタフレーク（Pentaflake）

ペンタフレークの完成図（カオスゲーム法で描画）

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分類: 自己相似図形
写像の数: 6 個（相似変換 6 個）
次元 1.862

ステップ 0〜5 の変化

完成図をちょうど囲む長方形（Step 0）に、6 個の写像をまとめて当てはめる操作（ハッチソン作用素 $W$ ）を繰り返した図です。色は最初に当てはめた写像を表します。

ペンタフレークの Step 0 — Step 0（1 個）

ペンタフレークの Step 1 — Step 1（6 個）

ペンタフレークの Step 2 — Step 2（36 個）

ペンタフレークの Step 3 — Step 3（216 個）

ペンタフレークの Step 4 — Step 4（1,296 個）

ペンタフレークの Step 5 — Step 5（7,776 個）

概要

正五角形を、中央に 1 つ、その周りに 5 つの小さな正五角形で置き換える操作を繰り返してできる図形です。雪の結晶のような、5 回対称の形になります。

縮小率は $(3 - 5) /2 \approx 0.382$ で、黄金比 $φ = (1 + 5) /2$ を使うと $1/ φ^{2}$ と表せます。6 個のコピーがこの縮小率でできているので、次元は $lo g 6/ lo g φ^{2} \approx 1.862$ です。

アフィン変換の係数

各写像は $x^{'} = a x + b y + e, y^{'} = c x + d y + f$ で、 $p$ はカオスゲームで選ぶ確率です。

写像	a	b	c	d	e	f	p	種類
f₁	0.382	0	0	0.382	0	0	0.1667	相似（0.382 倍）
f₂	0.382	0	0	0.382	0.5878	-0.191	0.1667	相似（0.382 倍）
f₃	0.382	0	0	0.382	0.3633	0.5	0.1667	相似（0.382 倍）
f₄	0.382	0	0	0.382	-0.3633	0.5	0.1667	相似（0.382 倍）
f₅	0.382	0	0	0.382	-0.5878	-0.191	0.1667	相似（0.382 倍）
f₆	0.382	0	0	0.382	0	-0.618	0.1667	相似（0.382 倍）

次元

理論値	$lo g 6/ lo g \frac{3 + 5}{2} \approx 1.862$
相似次元	1.862（全ての写像が相似変換のため、モランの式 $\sum s_{i}^{D} = 1$ から計算）
ボックスカウント次元（推定値）	1.823（100万点・1 辺 16〜512 分割、決定係数 R² = 1.0000）

相似次元は、開集合条件を満たす場合にハウスドルフ次元と一致します。

ボックスカウントの結果（両対数グラフの元データ）
1 辺の分割数	点を含む箱の数
16	192
32	664
64	2,348
128	8,428
256	29,951
512	105,131

次元の求め方は「フラクタル次元の求め方」で解説しています。

作り方

写像 $f_{1}$ は図形を 0.382 倍に縮小して平行移動 (0, 0) します（相似変換）。
写像 $f_{2}$ は図形を 0.382 倍に縮小して平行移動 (0.588, -0.191) します（相似変換）。
写像 $f_{3}$ は図形を 0.382 倍に縮小して平行移動 (0.363, 0.5) します（相似変換）。
写像 $f_{4}$ は図形を 0.382 倍に縮小して平行移動 (-0.363, 0.5) します（相似変換）。
写像 $f_{5}$ は図形を 0.382 倍に縮小して平行移動 (-0.588, -0.191) します（相似変換）。
写像 $f_{6}$ は図形を 0.382 倍に縮小して平行移動 (0, -0.618) します（相似変換）。

6 つの写像はどれも「約 0.382 倍に縮小する」だけで、1 つは中央に、残り 5 つは中心から等しい距離の 5 方向（72° おき）に置きます。回転はしません。

関連する図形

出典・参考文献

H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe, *Chaos and Fractals: New Frontiers of Science*, Springer, 1992.