シェルピンスキーのカーペット（Sierpinski Carpet）

ステップ 0〜5 の変化

完成図をちょうど囲む長方形（Step 0）に、8 個の写像をまとめて当てはめる操作（ハッチソン作用素 $W$ ）を繰り返した図です。色は最初に当てはめた写像を表します。

正方形を 3×3 の 9 マスに分けて真ん中のマスを取り除き、残った 8 マスそれぞれに同じ操作を繰り返してできる図形です。ヴァツワフ・シェルピンスキーが 1916 年に発表しました。

$n$ 回繰り返すと残る面積は $(8/9)^{n}$ になり、最終的な面積は 0 になります。それでも穴の周りの線は網の目のようにつながっていて、次元は $lo g 8/ lo g 3 \approx 1.893$ と 2 にかなり近い値です。

立体版として、立方体から同じように中央部分を取り除く「メンガーのスポンジ」も知られています。

各写像は $x^{'} = a x + b y + e, y^{'} = c x + d y + f$ で、 $p$ はカオスゲームで選ぶ確率です。

理論値	$lo g 8/ lo g 3 \approx 1.893$
相似次元	1.893（全ての写像が相似変換のため、モランの式 $\sum s_{i}^{D} = 1$ から計算）
ボックスカウント次元（推定値）	1.892（100万点・1 辺 16〜512 分割、決定係数 R² = 1.0000）

相似次元は、開集合条件を満たす場合にハウスドルフ次元と一致します。

次元の求め方は「フラクタル次元の求め方」で解説しています。

写像 $f_{1}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0, 0) します（相似変換）。
写像 $f_{2}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0.333, 0) します（相似変換）。
写像 $f_{3}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0.667, 0) します（相似変換）。
写像 $f_{4}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0, 0.333) します（相似変換）。
写像 $f_{5}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0.667, 0.333) します（相似変換）。
写像 $f_{6}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0, 0.667) します（相似変換）。
写像 $f_{7}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0.333, 0.667) します（相似変換）。
写像 $f_{8}$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0.667, 0.667) します（相似変換）。

8 つの写像はどれも「1/3 に縮小する」だけで、3×3 のマスのうち中央以外の 8 か所に置きます。1 回ごとに正方形の数は 8 倍、1 辺は 1/3 になり、大小さまざまな正方形の穴が並んでいきます。

W. Sierpiński, "Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe donnée", *Comptes Rendus de l'Académie des Sciences* 162 (1916), 629–632.
B. B. Mandelbrot, *The Fractal Geometry of Nature*, W. H. Freeman, 1982.