スパイラル銀河（Fractal Spiral）

ステップ 0〜5 の変化

完成図をちょうど囲む長方形（Step 0）に、3 個の写像をまとめて当てはめる操作（ハッチソン作用素 $W$ ）を繰り返した図です。色は最初に当てはめた写像を表します。

渦巻きの腕に沿って小さな渦巻きが並び、その小さな渦巻きの腕にもさらに小さな渦巻きが並ぶ、銀河のような図形です。1 つの大きな回転と、2 つの小さなコピーだけで作られています。

3 つの写像はすべて相似変換なので、モランの式から相似次元を計算でき、約 1.464 になります。ただし、コピーどうしが重ならないかどうか（開集合条件）は確認できていないため、このページでは理論値を載せていません。ボックスカウント法による推定値も約 1.46 で、相似次元に近い値です。

各写像は $x^{'} = a x + b y + e, y^{'} = c x + d y + f$ で、 $p$ はカオスゲームで選ぶ確率です。

理論値	—（文献で確認できる値がないため記載していません）
相似次元	1.464（全ての写像が相似変換のため、モランの式 $\sum s_{i}^{D} = 1$ から計算）
ボックスカウント次元（推定値）	1.456（100万点・1 辺 16〜512 分割、決定係数 R² = 1.0000）

部分像どうしが重なっている場合（開集合条件を満たさない場合）、相似次元は実際の次元より大きな値（上限）になります。

次元の求め方は「フラクタル次元の求め方」で解説しています。

$f_{1}$ （渦を巻く）: 全体を約 0.886 倍に縮めて、約 28° 回転させます。これを繰り返すと、点は中心に向かって渦を巻きながら近づいていきます。カオスゲームの確率は 88% と大きくしています。
$f_{2}$ （小さな渦・右）: 全体を 0.18 倍に縮め、中心から右へ 0.25 ずらします。
$f_{3}$ （小さな渦・左）: 全体を 0.18 倍に縮めて左右を反転し、中心から左へ 0.25 ずらします。反転しているため、左の小さな渦は右とは逆向きに巻きます。

$f_{2}$ ・ $f_{3}$ で作られた小さな渦が、 $f_{1}$ によって何度も回転・縮小されることで、渦の腕に沿って並びます。

K. Falconer, *Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications*, Wiley（初版 1990）.（相似変換による自己相似集合と次元）