ツイン・ドラゴン（Twindragon）

▶ この図形で動かす ステップの変化を見る

• 分類: 曲線・ドラゴン
• 写像の数: 2 個（相似変換 2 個）
• 次元 2.000

ステップ 0〜5 の変化

完成図をちょうど囲む長方形（Step 0）に、2 個の写像をまとめて当てはめる操作（ハッチソン作用素 $W$）を繰り返した図です。色は最初に当てはめた写像を表します。

概要

ヘイウェイ・ドラゴンを 2 つ、背中合わせにつなげた形の図形です。平面の一部を隙間なく埋めるので次元は 2 で、境界の次元はヘイウェイ・ドラゴンと同じ約 1.5236 です。

ツイン・ドラゴンは、自分自身の $1/\sqrt{2}$ 倍の縮小コピー 2 つでぴったり組み立てられ、さらに同じ形を並べて平面を隙間なく敷き詰められる「レプタイル」の一つです。複素数を底とする記数法（2 進法を複素数に広げたもの）で、小数部分だけを持つ数の集まりとして表せることでも知られています。

アフィン変換の係数

各写像は $x^{\prime }=ax+by+e,y^{\prime }=cx+dy+f$ で、$p$ はカオスゲームで選ぶ確率です。

次元

相似次元は、開集合条件を満たす場合にハウスドルフ次元と一致します。

次元の求め方は「フラクタル次元の求め方」で解説しています。

作り方

• 写像 $f_1$ は図形を 0.707 倍に縮小して45° 回転し、平行移動 (0, 0) します（相似変換）。
• 写像 $f_2$ は図形を 0.707 倍に縮小して45° 回転し、平行移動 (1, 0) します（相似変換）。

2 つの写像は、回転（45°）と縮小率（$1/\sqrt{2}\approx 0.707$）がまったく同じで、置く場所だけが違います。

• $f_1$: 45° 回転して 0.707 倍に縮め、原点に置きます。
• $f_2$: 同じく 45° 回転して 0.707 倍に縮め、点 $(1,0)$ に置きます。

ヘイウェイ・ドラゴンとの違いは、$f_2$ の回転角が 135° ではなく 45° である点だけです。回転角が 1 つ違うだけで、曲線の形から、面を埋める「島」の形に変わる様子を、カオスゲームで見比べてみてください。

関連する図形

• ヘイウェイ・ドラゴン
• タートル・ドラゴン
• レヴィC曲線
• コッホ曲線
• スパイラル銀河

出典・参考文献

• C. Davis, D. E. Knuth, "Number representations and dragon curves", *Journal of Recreational Mathematics* 3 (1970), 66–81, 133–149.