ヘイウェイ・ドラゴン（Heighway Dragon）

ステップ 0〜5 の変化

完成図をちょうど囲む長方形（Step 0）に、2 個の写像をまとめて当てはめる操作（ハッチソン作用素 $W$ ）を繰り返した図です。色は最初に当てはめた写像を表します。

紙テープを同じ向きに何度も半分に折り、折り目をすべて直角に開くと現れる曲線です。「ドラゴン曲線」とも呼ばれます。NASA の物理学者ジョン・ヘイウェイらが考案し、1967 年にマーティン・ガードナーが Scientific American 誌のコラムで紹介して広く知られるようになりました。

曲線は頂点で自分自身に接することはあっても線が重なることはなく、折れ曲がり続けて、極限では平面の一部を隙間なく埋め尽くします。そのため次元は 2 です。一方、埋め尽くされた領域の境界はギザギザのフラクタルで、その次元は約 1.5236 と計算されています。

ドラゴンの図形を並べると平面を隙間なく覆えることや、2 つを背中合わせにするとツイン・ドラゴンになることも知られています。

各写像は $x^{'} = a x + b y + e, y^{'} = c x + d y + f$ で、 $p$ はカオスゲームで選ぶ確率です。

写像	a	b	c	d	e	f	p	種類
f₁	0.5	-0.5	0.5	0.5	0	0	0.5	相似（0.707 倍）
f₂	-0.5	-0.5	0.5	-0.5	1	0	0.5	相似（0.707 倍）

理論値	$2$ （境界の次元は約 1.5236）
相似次元	2.000（全ての写像が相似変換のため、モランの式 $\sum s_{i}^{D} = 1$ から計算）
ボックスカウント次元（推定値）	1.836（100万点・1 辺 16〜512 分割、決定係数 R² = 0.9999）

相似次元は、開集合条件を満たす場合にハウスドルフ次元と一致します。

次元の求め方は「フラクタル次元の求め方」で解説しています。

2 つの写像はどちらも「 $1/ 2 \approx 0.707$ 倍に縮めて回転する」相似変換です。

線分を、直角に折れた 2 本の線分（元の $1/ 2$ の長さ）で置き換える操作にあたります。 $0.70 7^{2} \times 2 = 1$ なので、相似次元は 2 になります。

M. Gardner, "Mathematical Games", *Scientific American* 216(3) (March 1967), 124–125; 216(4) (April 1967), 118–120.
C. Davis, D. E. Knuth, "Number representations and dragon curves", *Journal of Recreational Mathematics* 3 (1970), 66–81, 133–149.