IFS Fractal Studio

タートル・ドラゴン（Terdragon）

タートル・ドラゴンの完成図（カオスゲーム法で描画）

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分類: 曲線・ドラゴン
写像の数: 3 個（相似変換 3 個）
次元 2.000

ステップ 0〜5 の変化

完成図をちょうど囲む長方形（Step 0）に、3 個の写像をまとめて当てはめる操作（ハッチソン作用素 $W$ ）を繰り返した図です。色は最初に当てはめた写像を表します。

タートル・ドラゴンの Step 0 — Step 0（1 個）

タートル・ドラゴンの Step 1 — Step 1（3 個）

タートル・ドラゴンの Step 2 — Step 2（9 個）

タートル・ドラゴンの Step 3 — Step 3（27 個）

タートル・ドラゴンの Step 4 — Step 4（81 個）

タートル・ドラゴンの Step 5 — Step 5（243 個）

概要

線分を 3 本の線分に置き換え、その間の折れ角を 120° にする操作を繰り返してできる曲線です。英語では terdragon と呼ばれ、「ter-」はラテン語で「3 回」を表します。ヘイウェイ・ドラゴンが「2 つに折る」曲線なのに対し、こちらは「3 つに折る」曲線です。

曲線は極限で平面の一部を埋め尽くすため次元は 2 です。埋め尽くされた領域の境界の次元は $lo g 4/ lo g 3 \approx 1.2619$ で、コッホ曲線と同じ値になります。

アフィン変換の係数

各写像は $x^{'} = a x + b y + e, y^{'} = c x + d y + f$ で、 $p$ はカオスゲームで選ぶ確率です。

写像	a	b	c	d	e	f	p	種類
f₁	0.5	0.2887	-0.2887	0.5	0	0	0.3333	相似（0.577 倍）
f₂	0	-0.5774	0.5774	0	0.5	-0.2887	0.3333	相似（0.577 倍）
f₃	0.5	0.2887	-0.2887	0.5	0.5	0.2887	0.3333	相似（0.577 倍）

次元

理論値	$2$ （境界の次元は log 4 / log 3 ≈ 1.2619）
相似次元	2.000（全ての写像が相似変換のため、モランの式 $\sum s_{i}^{D} = 1$ から計算）
ボックスカウント次元（推定値）	1.871（100万点・1 辺 16〜512 分割、決定係数 R² = 0.9997）

相似次元は、開集合条件を満たす場合にハウスドルフ次元と一致します。

ボックスカウントの結果（両対数グラフの元データ）
1 辺の分割数	点を含む箱の数
16	95
32	329
64	1,155
128	4,239
256	16,128
512	62,172

次元の求め方は「フラクタル次元の求め方」で解説しています。

作り方

写像 $f_{1}$ は図形を 0.577 倍に縮小して-30° 回転し、平行移動 (0, 0) します（相似変換）。
写像 $f_{2}$ は図形を 0.577 倍に縮小して90° 回転し、平行移動 (0.5, -0.289) します（相似変換）。
写像 $f_{3}$ は図形を 0.577 倍に縮小して-30° 回転し、平行移動 (0.5, 0.289) します（相似変換）。

3 つの写像はどれも「 $1/ 3 \approx 0.577$ 倍に縮めて回転する」相似変換です。始点 $(0, 0)$ と終点 $(1, 0)$ を結ぶ線分を、つながった 3 本の線分に置き換えます。

$f_{1}$ : 時計回りに 30° 回転して縮め、始点から 1 本目を伸ばします。
$f_{2}$ : 反時計回りに 90° 回転して縮め、1 本目の終わりから 2 本目を上向きに伸ばします。
$f_{3}$ : 再び時計回りに 30° 回転して縮め、2 本目の終わりから終点 $(1, 0)$ まで 3 本目を伸ばします。

$0.57 7^{2} \times 3 = 1$ なので、相似次元は 2 になります。

このサイトの旧版では、3 本の線分がつながらない係数になっていたため、タートル・ドラゴン本来の形にならないことがありました。現在は上の定義に修正しています。

関連する図形

出典・参考文献

C. Davis, D. E. Knuth, "Number representations and dragon curves", *Journal of Recreational Mathematics* 3 (1970), 66–81, 133–149.