コッホ曲線（Koch Curve）

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• 分類: 曲線・ドラゴン
• 写像の数: 4 個（相似変換 4 個）
• 次元 1.262

ステップ 0〜5 の変化

完成図をちょうど囲む長方形（Step 0）に、4 個の写像をまとめて当てはめる操作（ハッチソン作用素 $W$）を繰り返した図です。色は最初に当てはめた写像を表します。

概要

線分を 3 等分し、真ん中の部分を正三角形の 2 辺に置き換える操作を無限に繰り返してできる曲線です。スウェーデンの数学者ヘルゲ・フォン・コッホが 1904 年に発表しました。

1 回の操作で長さは $4/3$ 倍になるので、$n$ 回で $(4/3{)}^n$ 倍になり、極限では長さが無限大になります。それでいて曲線は有限の範囲に収まっています。どの点でも折れ曲がっていて、接線を引けない（微分できない）連続な曲線の例としても知られています。次元は $\log 4/\log 3\approx 1.262$ です。

正三角形の 3 辺それぞれをコッホ曲線に置き換えると、雪の結晶のような「コッホ雪片（コッホの雪片曲線）」になります。このプリセットは、その 1 辺にあたるコッホ曲線です。このサイトの旧版では「コッホ雪片曲線」と呼んでいましたが、図形の定義に合わせて名前を改めました。

アフィン変換の係数

各写像は $x^{\prime }=ax+by+e,y^{\prime }=cx+dy+f$ で、$p$ はカオスゲームで選ぶ確率です。

次元

相似次元は、開集合条件を満たす場合にハウスドルフ次元と一致します。

次元の求め方は「フラクタル次元の求め方」で解説しています。

作り方

• 写像 $f_1$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0, 0) します（相似変換）。
• 写像 $f_2$ は図形を 0.333 倍に縮小して60° 回転し、平行移動 (0.333, 0) します（相似変換）。
• 写像 $f_3$ は図形を 0.333 倍に縮小して-60° 回転し、平行移動 (0.5, 0.289) します（相似変換）。
• 写像 $f_4$ は図形を 0.333 倍に縮小して平行移動 (0.667, 0) します（相似変換）。

4 つの写像はどれも「1/3 に縮小する」相似変換で、3 等分した線分の 4 か所に置きます。

• $f_1$: そのまま 1/3 に縮め、左端に置きます。
• $f_2$: 1/3 に縮めて反時計回りに 60° 回転し、三角形の左の辺にします。
• $f_3$: 1/3 に縮めて時計回りに 60° 回転し、三角形の右の辺にします。
• $f_4$: そのまま 1/3 に縮め、右端に置きます。

関連する図形

• ヘイウェイ・ドラゴン
• ツイン・ドラゴン
• タートル・ドラゴン
• レヴィC曲線
• スパイラル銀河

出典・参考文献

• H. von Koch, "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire", *Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik* 1 (1904), 681–704.
• H. von Koch, "Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes", *Acta Mathematica* 30 (1906), 145–174.
• H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe, *Chaos and Fractals: New Frontiers of Science*, Springer, 1992.