レヴィC曲線（Lévy C Curve）

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• 分類: 曲線・ドラゴン
• 写像の数: 2 個（相似変換 2 個）
• 次元 2.000

ステップ 0〜5 の変化

完成図をちょうど囲む長方形（Step 0）に、2 個の写像をまとめて当てはめる操作（ハッチソン作用素 $W$）を繰り返した図です。色は最初に当てはめた写像を表します。

概要

線分を、直角に折れた 2 本の線分（直角二等辺三角形の 2 辺）で置き換える操作を繰り返してできる曲線です。全体がアルファベットの「C」のような形になることから、この名前で呼ばれます。フランスの数学者ポール・レヴィが 1938 年の論文で、この曲線の自己相似性を論じたことにちなみます。

曲線はあちこちで自分自身と重なり合い、極限では面積を持つ領域を埋めます。そのため次元は 2 です。境界の次元は約 1.9340 と、2 にかなり近い値です。

アフィン変換の係数

各写像は $x^{\prime }=ax+by+e,y^{\prime }=cx+dy+f$ で、$p$ はカオスゲームで選ぶ確率です。

次元

相似次元は、開集合条件を満たす場合にハウスドルフ次元と一致します。

次元の求め方は「フラクタル次元の求め方」で解説しています。

作り方

• 写像 $f_1$ は図形を 0.707 倍に縮小して45° 回転し、平行移動 (0, 0) します（相似変換）。
• 写像 $f_2$ は図形を 0.707 倍に縮小して-45° 回転し、平行移動 (0.5, 0.5) します（相似変換）。

2 つの写像はどちらも「$1/\sqrt{2}\approx 0.707$ 倍に縮めて 45° 回転する」相似変換です。

• $f_1$: 反時計回りに 45° 回転して縮め、始点 $(0,0)$ から直角の頂点 $(0.5,0.5)$ までを担当します。
• $f_2$: 時計回りに 45° 回転して縮め、直角の頂点から終点 $(1,0)$ までを担当します。

ヘイウェイ・ドラゴンも同じく「直角に折れた 2 本の線分」への置き換えですが、2 本目の向きが違います。レヴィC曲線は毎回同じ側に折れるため左右対称の C 字形になり、ドラゴンは折れる向きが交互になるため渦を巻いた形になります。

関連する図形

• ヘイウェイ・ドラゴン
• ツイン・ドラゴン
• タートル・ドラゴン
• コッホ曲線
• スパイラル銀河

出典・参考文献

• P. Lévy, "Les courbes planes ou gauches et les surfaces composées de parties semblables au tout", *Journal de l'École Polytechnique* (1938), 227–291.