結晶樹（Crystal Tree）

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分類: 植物・樹木
写像の数: 5 個（相似変換 5 個）
次元 ≈ 1.607（推定）

ステップ 0〜5 の変化

完成図をちょうど囲む長方形（Step 0）に、5 個の写像をまとめて当てはめる操作（ハッチソン作用素 $W$ ）を繰り返した図です。色は最初に当てはめた写像を表します。

概要

中央と上下左右の 5 か所に、全体を約 0.382 倍に縮小したコピーを置いてできる、十字形の結晶のような図形です。十字の腕から、さらに小さな十字の腕が枝分かれしていきます。

5 つの写像はすべて相似変換なので、モランの式から相似次元を計算でき、約 1.672 になります。ただし、中央のコピーと上下左右のコピーは一部が重なっています。コピーどうしが重なると、モランの式は重なった部分を二重に数えるため、相似次元は実際の次元（ハウスドルフ次元）より大きな値、つまり上限にとどまります。そのため、このページでは理論値を載せていません。ボックスカウント法による推定値は約 1.6 で、相似次元より小さくなっています（→ 相似次元とハウスドルフ次元の関係）。

ヴィチェック・フラクタルも同じく十字形ですが、そちらは縮小率が 1/3 で、コピーどうしが重なりません。

アフィン変換の係数

各写像は $x^{'} = a x + b y + e, y^{'} = c x + d y + f$ で、 $p$ はカオスゲームで選ぶ確率です。

写像	a	d	e	f	p	種類
f₁	0.382	0.382	0	0.618	0.2	相似（0.382 倍）
f₂	0.382	0.382	0.618	0	0.2	相似（0.382 倍）
f₃	0.382	0.382	-0.618	0	0.2	相似（0.382 倍）
f₄	0.382	0.382	0	-0.618	0.2	相似（0.382 倍）
f₅	0.382	0.382	0	0	0.2	相似（0.382 倍）

次元

理論値	—（文献で確認できる値がないため記載していません）
相似次元	1.672（全ての写像が相似変換のため、モランの式 $\sum s_{i}^{D} = 1$ から計算）
ボックスカウント次元（推定値）	1.607（100万点・1 辺 16〜512 分割、決定係数 R² = 0.9999）