ピタゴラスの木（Pythagoras Tree）

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• 分類: 植物・樹木
• 写像の数: 3 個（相似変換 2 個）
• 次元 ≈ 1.821（推定）

ステップ 0〜5 の変化

完成図をちょうど囲む長方形（Step 0）に、3 個の写像をまとめて当てはめる操作（ハッチソン作用素 $W$）を繰り返した図です。色は最初に当てはめた写像を表します。

概要

ピタゴラスの木は、正方形の上に直角二等辺三角形を載せ、その 2 辺の上にさらに小さな正方形を載せる操作を繰り返してできる、樹木のような図形です。三角形の 3 辺の上の正方形が三平方の定理（ピタゴラスの定理）の図と同じ配置になることから、この名前で呼ばれます。

このプリセットは、その枝分かれの規則を 3 つのアフィン写像で表したものです。正方形そのものを描くのではなく、幹を線で表し、左右 45° に $1/\sqrt{2}$ 倍で枝分かれする規則だけを繰り返しています。このため、正方形を積み上げる本来のピタゴラスの木とは見た目が異なり、枝先の形はレヴィC曲線に似たものになります。

枝を作る 2 つの写像は相似変換ですが、幹の写像が図形を線につぶすため、相似次元は計算できません。

アフィン変換の係数

各写像は $x^{\prime }=ax+by+e,y^{\prime }=cx+dy+f$ で、$p$ はカオスゲームで選ぶ確率です。

次元

相似次元は、開集合条件を満たす場合にハウスドルフ次元と一致します。

次元の求め方は「フラクタル次元の求め方」で解説しています。

作り方

• 写像 $f_1$ は図形を幅のない線（または点）につぶします（$\det A=0$）。(0, 0) を通る線分になり、茎や幹を描きます。
• 写像 $f_2$ は図形を 0.707 倍に縮小して45° 回転し、平行移動 (0, 0.5) します（相似変換）。
• 写像 $f_3$ は図形を 0.707 倍に縮小して-45° 回転し、平行移動 (0.5, 1) します（相似変換）。

• $f_1$（幹）: 図形を縦の線分につぶして幹にします。
• $f_2$（左の枝）: 全体を $1/\sqrt{2}\approx 0.707$ 倍に縮めて左へ 45° 回転し、幹の上に載せます。
• $f_3$（右の枝）: 同じく 0.707 倍に縮めて右へ 45° 回転し、$f_2$ の枝の先につなげます。

$1/\sqrt{2}$ 倍に縮めて 45° 傾けるのは、直角二等辺三角形の斜辺に対する他の 2 辺の比と向きそのものです。

関連する図形

• バーンズリーのシダ
• カルチタ・シダ
• フィッシュボーン・シダ
• フラクタル・ツリー
• 枝分かれ樹
• 結晶樹
• メイプル・リーフ

出典・参考文献

• H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe, *Chaos and Fractals: New Frontiers of Science*, Springer, 1992.