フラクタル・ツリー（Fractal Tree）

ステップ 0〜5 の変化

完成図をちょうど囲む長方形（Step 0）に、4 個の写像をまとめて当てはめる操作（ハッチソン作用素 $W$ ）を繰り返した図です。色は最初に当てはめた写像を表します。

1 本の幹から左右に枝が分かれ、その枝がさらに左右に分かれていく、樹木の枝分かれを表す図形です。左右対称で、枝の先端に向かって細かな枝が密集していきます。

枝を作る 2 つの写像は、図形を 45° 回転させて約 0.59 倍に縮める相似変換です。一方、幹を作る写像は図形を細い棒につぶすため相似変換ではなく、相似次元は計算できません。

各写像は $x^{'} = a x + b y + e, y^{'} = c x + d y + f$ で、 $p$ はカオスゲームで選ぶ確率です。

相似次元は、開集合条件を満たす場合にハウスドルフ次元と一致します。

次元の求め方は「フラクタル次元の求め方」で解説しています。

$f_{1}$ ・ $f_{2}$ （幹）: 横方向を 0.05 倍に縮めて図形を細い棒にします。 $f_{1}$ は根元から上向き、 $f_{2}$ は上下を反転して上から下向きに幹を描きます。
$f_{3}$ ・ $f_{4}$ （左右の枝）: 全体を約 0.59 倍に縮め、左右に 45° ずつ回転させて、幹の途中から伸ばします。